数学分析：
V.A.Zorich，数学分析，高等教育出版社。
G.M.Fikhtengolts，微积分学教程，高等教育出版社（只用看例题和数项级数那章就可以了）。
线性代数与抽象代数：
E.B.Vinberg，A Course in Algebra，AMS。（建议优先选这本，不过这本书可能国内很不容易找到，如果搞不到，那就看下面这本。）
A.I.Kostrikin，代数学引论，高等教育出版社。
解析几何：
V.V.Prasolov and V.M.Tikhomirov，Geometry，AMS。
常微分方程：
V.I.Arnold，Ordinary Differential Equation，Springer。
实变函数：
D.W.Stroock，A Concise Introduction to the Theory of Integration，Birkhauser。
复变函数：
Kunihiko Kodaira（小平邦彦），Complex Analysis，Cambridge。
古典微分几何与微分流形：
B.A.Dubrovin、A.T.Fomenko、S.P.Novikov，Modern Geometry，Springer。
数论：
Kenneth Ireland，A Classical Introduction to Modern Number Theory，Springer。
泛函分析：
Peter Lax，Functional Analysis，Wiley-Interscience。
M.Reed、B.Simon，Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis，Academic Press。（看里面的无界算子那章就可以了。）
偏微分方程：
V.S.Vladimirov，Equations of Mathematical Physics，MIR。
V.S.Vladimirov，A Collection of Problems on Equations of Mathematical Physics，Springer。（这本书是前一本书的配套习题集，不过里面题目很多，要全做完不太可能，选三分之一的题目应该就差不多了。）
概率论：
A.N.Shiryaev，Probability，Springer。（这书最好分成两部分看，第一部分是，第一章的1-6节，第二章的1-8节、10节、12-13节，第三章的1-8节、11节，第四章的1-4节，第二部分是书里的其它部分。我以前用这本书教学的时候，第一部分是本科生必修课“概率论”的内容，第二部分是多数方向的选修课和概率论方向的必修课“概率论的附加章节”这门课的内容。）
随机过程：
A.V.Bulinsky、A.N.Shiryaev，随机过程论，高等教育出版社。
数理统计：
P.J.Bickel、K.A.Doksum，Mathematical Statistics Vol I，Prentice-Hall。
拓扑学：
D.B.Fuks、V.A.Rokhlin，Beginner's Course in Topology，Springer。（对于
V.A.Vassiliev，A.Sossinski，Introduction to Topology，AMS。（这本书的除了第一章，其它各章的内容实际上在Novikov的Modern Geometry里也讲了，第一章在Zorich的数学分析也讲了，不过这些重复的部分都是很重要的东西，好在书很薄，多看也不花费多少时间。）
数值分析：
M.T.Heath，Scientific Computing: An Introductory Survey，McGraw-Hill。（数学系现在用的数值分析教材应该是Kincaid的Numerical Analysis，这两本书正好互补。Heath的这本书比较侧重于各种算法的上机实现。）
K. Atkinson、W. Han，Theoretical Numerical Analysis，Springer。（这是一本用泛函分析来讲数值分析的书，偏重于理论，如果对于想做计算数学的学生来说，是很必要看的，否则可能不太需要。）
离散数学：
L.Lovasz、J.Pelikan、K.L.Vesztergombi，Discrete Mathematics，Springer。（随着计算机科学与信息学的发展，离散数学，或者说组合数学与图论，作为计算机科学的基础，其实现在已经是很重要的一门课了，而且和纯数学的其它分支也有越来越紧密的联系，不过长期以来，这门课程并没有列入国内数学专业的必修课，不过现在科大已经把组合数学列入基础数学专业的必修课，这是个好事。Lovasz这本书，材料选择很合适，相信会在相当长的一段时间，会是所有数学专业和计算机科学专业学生学习组合数学和图论的首选。）
普通物理：
L.D.Landau、A.I.Akhiezer、E.M.Lifshitz，General Physics：Mechanics and Molecular Physics，Pergamon。
E.M.Purcell，Electricity and Magnetism，Mcgraw-Hill。
A.N.Matveev，Optics，Mir。
P.Feynman，The Feynman Lectures on Physics，Addison-Wesley。（重点推荐第三卷，能在普通物理的层次上把量子力学的基本概念讲明白的，据我所知，也就是这本书了，包括Nobel奖得主Ginzburg编写的俄文版的普通物理教科书，这方面也有些问题。）
以上是数学类的主要课程。
下面是对于学纯数学的来说非常重要的课程：
代数拓扑学：
B.A.Dubrovin、A.T.Fomenko、S.P.Novikov，Modern Geometry，Springer。
R.Bott、L.W.Tu，Differential Forms in Algebraic Topology，Springer。
代数几何：
I.R.Shafarevich，Basic Algebraic Geometry Vol II，Springer。
表示论：
W.Fulton、J.Harris，Representation theory：A first course，Springer。
交换代数：
M.F.Atiyah、I.G.Macdonald，Introduction to Commutative Algebra，Addison-Wesley。
微分拓扑学：
J.Milnor，Differential Topology。（作者在Princeton的油印讲义，没有正式出版，中文翻译可以收在下面一本书的中文版里，翻译质量还不错。）
J.Milnor，Topology from the Differentiable Viewpoint，Princeton University Press。
J.Milnor，Morse Theory，Princeton University Press。
测度论：
Vladimir Bogachev，Measure Theory，Springer。（这本书的第一卷其实也是很不错的实变函数教科书，第二卷则是包括很多新的研究成果的测度论教材，我相信这本书将在很长一段时间成为测度论的标准教材。）
Fourier分析：
L.Hormander，The Analysis of Linear Partial Differential Operators I：Distribution Theory and Fourier Analysis，Springer。（Fourier分析是很重要的一门课，不过很遗憾的是，中国学生在这方面学得很少，这是一个明显的缺陷。）
以下是理论物理方面的课程：
理论力学：
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，Course of Theoretical Physics Volume 1：Mechanics，Pergamon Press。
V.I.Arnold，Mathematical Methods of Classical Mechanics，Springer。
连续介质力学：
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，Course of Theoretical Physics Volume 6：Fluid Mechanics，Pergamon Press。
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，Course of Theoretical Physics Volume 7：Theory of Elasticity，Pergamon Press。
电动力学：
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，Course of Theoretical Physics Volume 2：The Classical Theory of Fields，Pergamon Press。
L.D.Landau、E.M.Lifshitz、L.P.Pitaevskii，Course of Theoretical Physics Volume 8：Electrodynamics of Continuous Media，Pergamon Press。
量子力学：
D.J.Griffiths，Introduction to Quantum Mechanics，Addison-Wesley。
高等量子力学：
L.E.Ballentine，Quantum Mechanics：A Modern Developmen，Prentice Hall。
统计物理学：
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，Course of Theoretical Physics Volume 5：Statistical Physics Part I，Pergamon Press。
高等统计物理学：
M.Le Bellac、F.Mortessagne、G.Batrouni，Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Thermodynamics，Cambridge University Press。
E.M.Lifshitz、L.P.Pitaevskii，Course of Theoretical Physics Volume 9：Statistical Physics Part II，Pergamon Press。
E.M.Lifshitz、L.P.Pitaevskii，Course of Theoretical Physics Volume 10：Physical Kinetics，Pergamon Press。
量子场论：
M.E.Peskin、D.V.Schroeder，An Introduction to Quantum Field Theory，Perseus。
广义相对论：
H.C.Ohanian、R.Ruffini，Gravitation and Spacetime，W.W.Norton & Company。
关于这个参考书目和下面的参考书目特别说明一下，我想对于纯数学专业，把这个参考书目上的数学书看完，就算是打下一个足够的数学基础了。下一步就是按自己的研究方向，按照需要什么学什么的原则，在导师指导下或者自己选一些相关的参考书看。
随便讲一下，我过去见过一些数学专业的学生，基本上都是本科生，野心很大，什么都想搞，什么都想学，于是漫无目的的去看书读文献，精神可嘉，效果却没有一个好的。我认为，即便是有人想成为Von Nuemann、Kolmogorov那样的所谓“全能型”数学家，也不能这么看。首先现在不是Newton、Gauss的时代，也不是Poincare的时代，自二十世纪以来，数学知识成爆炸性增长，没有任何人可以面面俱到，二十世纪以前有可能有人能够面面俱到，但是以后根本不可能，即便是Von Nuemann、Kolmogorov这样的号称“全能”的数学家，其实也不是面面俱到的，Von Nuemann在数论和拓扑学上没有什么贡献，Kolmogorov不搞数论，微分几何他也不研究。而且这二位的研究也有个主线，比如Kolmogorov，早年从Luzi的实变函数讨论班上学来了很多实变函数相关的东西，然后去Gottingen访问的时候又从Emmy Noether那里学了点东西，他后来搞概率论、动力系统、泛函分析、拓扑代数、拓扑学、流体力学、理论计算机科学、数理统计，其实通通都是在这个基础上演化出来的。Von Nuemann的情况也差不多。
我觉得，正确的做法还是要先在一个方向上搞扎实，做出成果来，然后再争取往其它方向扩展。看书读文献也一样，一定要有一个主线，其它东西只能是个补充，绝对不能喧宾夺主。
发表评论 评论 (4 个评论)